Конаться: значение слова в словаре Ушакова
КОН’АТЬСЯ, конаюсь, конаешься, ·несовер. (·обл. ).
1. Перехватывать поочередно палку руками от одного конца до другого для того, чтобы определить, кому первому играть или начинать какую-нибудь работу (·т.е. последнему ухватившему).
2. Вообще бросать жребий.
3. Тягаться, состязаться.