Многообразие

Многообра́зие (топологическое многообразие) — хаусдорфово топологическое пространство со счётной базой, каждая точка которого обладает окрестностью, гомеоморфной евклидову пространству

R

n

{displaystyle mathbb {R} ^{n}}

, иными словами, пространство, локально сходное с евклидовым. Число

n

{displaystyle n}

называется размерностью топологического многообразия.

Евклидово пространство является самым простым примером многообразия.

Более сложным примером может служить поверхность Земли: возможно сделать карту какой-либо области земной поверхности, например карту полушария, но невозможно составить единую (без разрывов) карту всей её поверхности.

Исследования многообразий были начаты во второй половине XIX века, они естественно возникли при изучении дифференциальной геометрии и теории групп Ли. Тем не менее первые точные определения были сделаны только в 30-х годах XX века.

Обычно рассматриваются так называемые гладкие многообразия, то есть те, на которых есть выделенный класс гладких функций — в таких многообразиях можно говорить о касательных векторах и касательных пространствах. Для того, чтобы измерять длины кривых и углы, нужна ещё дополнительная структура — риманова метрика.

В классической механике основным многообразием является фазовое пространство. В общей теории относительности четырёхмерное псевдориманово многообразие используется как модель для пространства-времени.