В толковых словарях русского языка слово «взыскательно» имеет несколько значений. Вот основные:
ВЗЫСКА́ТЕЛЬНО. Нареч. к взыскательный. [Семен Васильевич] держал себя с дочерью строго и взыскательно. Мамин-Сибиряк, Мать-мачеха. Я от души благодарна С. Я. Маршаку и К. И. Чуковскому, которые отнеслись к моим ранним вещам взыскательно, требовательно и критиковали прямо. Барто, Немного о себе.
взыскательно
I нареч. обстоят. качества
Предъявляя высокие требования; строго.
II предик.
Оценочная характеристика отношения кого-либо к чему-либо как строгого, отличающегося высокими требованиями.
1. наречие к прилагательному взыскательный; предъявляя высокие требования; строго ◆ Когда мать шла из дому, он, как отец когда-то, взыскательно оглядывал ее ― все ли на ней прилично и красиво. В. Ф. Панова, «Времена года. Из летописей города Энска», 1953 г. (цитата из НКРЯ)