В толковых словарях русского языка слово «джигитовать» имеет несколько значений. Вот основные:
ДЖИГИТОВА́ТЬ, -ту́ю, -ту́ешь; несов. Заниматься джигитовкой. От хутора отделился верховой. Сильно накренившись набок и помахивая выше головы нагайкой, точно джигитуя и желая удивить всех своей смелой ездой, он с быстротою птицы полетел к обозу. Чехов, Степь.
джигитовать несов. неперех.
Заниматься джигитовкой.
ДЖИГИТОВАТЬ, тую, туешь; несов. Заниматься джигитовкой.
ДЖИГИТОВ’АТЬ, джигитую, джигитуешь, ·несовер. Заниматься джигитовкой.
1. заниматься джигитовкой, то есть делать разнообразные сложные упражнения во время езды верхом на лошади ◆ Всадники джигитовали. И вдруг загремели русские барабаны, и штыки русских солдат засверкали из-за холма. Бестужев-Марлинский, «Аммалат-бек», 1831 г. (цитата из НКРЯ) ◆ Между прочим он указывал нам на озеро, кругом которого он джигитовал, а трое черкесов гонялись за ним, но он ускользнул от них на лихом своем карабахском коне. П. А. Висковатый (Висковатов), «Жизнь и творчество М. Ю. Лермонтова», 1891 г. (цитата из НКРЯ) ◆ Вспомнив, что я когда-то умела прекрасно джигитовать, с места в карьер срываюсь с места и лечу к директору цирка с просьбой, чтоб он меня принял в цирк наездницей. Зощенко, «Возвращенная молодость», 1933 г. (цитата из НКРЯ)
джигитова́ть
ДЖИГИТОВАТЬ (от джигит, наездник, татарск.) гарцевать, наездничать, упражняться в наездничестве, в конном ристании, в джигитовании ср. или джигитовке ж.