В толковых словарях русского языка слово «помучиться» имеет несколько значений. Вот основные:
ПОМУ́ЧИТЬСЯ, -чусь, -чишься; сов. Мучиться некоторое время. Ей пришлось немало помучиться. С тех пор как она, приехав из порта на машине к городскому вокзалу, рассталась с Весельчаковым ---, у нее не было ни одной спокойной минуты. Чаковский, У нас уже утро.
помучиться сов.
В течение некоторого времени совершить действие, названное соответствующим беспрефиксным глаголом.
ПОМУЧИТЬСЯ, чусь, чишься и чаюсь, чаешься; сов. Испытать муку, мучение в течение нек-рого времени.
ПОМ’УЧИТЬСЯ, помучусь, помучишься, и (·разг.) помучаюсь, помучаешься, ·совер. (·разг. ). В течение некоторого времени испытать муку, мученье. Помучилась немного и умерла. Помучился я с этой задачей. (Встречается также написание помучаться, помучался.)
1. разг. в течение некоторого времени испытать муку, мученье ◆ Помучилась немного и умерла. Помучился я с этой задачей.