В толковых словарях русского языка слово «попыхтеть» имеет несколько значений. Вот основные:
ПОПЫХТЕ́ТЬ, -хчу́, -хти́шь; сов. Разг. Пыхтеть некоторое время. [Шоферы] изрядно попыхтели, сообща вытаскивая на буксире завязшую машину. Ажаев, Далеко от Москвы. Никитич попыхтел угасающей трубочкой, 300 раскурил, затянулся и закашлялся. Шукшин, Охота жить.
попыхтеть сов. неперех. разг.
В течение некоторого времени совершить действие, названное соответствующим беспрефиксным глаголом.
ПОПЫХТ’ЕТЬ, попыхчу, попыхтишь, ·совер. (·разг. ). Провести некоторое время, пыхтя.
| перен. Потрудиться с усилиями, стараясь сделать что-нибудь (·фам. ). Попыхтел над задачей.
1. совершить действие, выраженное гл. пыхтеть); провести некоторое время, совершая такое действие ◆ Мужские представители этого семейства славились бузотёрством — они любили поорать, помахать кулаками и попыхтеть, как свиньи… Кен Кизи, «Песнь моряка» / перевод М. Ланиной