В толковых словарях русского языка слово «разобидеться» имеет несколько значений. Вот основные:
РАЗОБИ́ДЕТЬСЯ, -оби́жусь, -оби́дишься; сов. Разг. Очень сильно обидеться. [Тетка] совершенно разобиделась сватовством моего героя без предварительного совета с нею. Писемский, Тюфяк. Не пошел дед ни в политотдел, никуда — так крепко разобиделся. Овечкин, Ошибка.
разобидеться сов. неперех. разг.
Сильно обидеться.
РАЗОБИДЕТЬСЯ, ижусь, идишься; сов., на кого-что (разг.). Сильно обидеться. Р. на насмешников.
РАЗОБ’ИДЕТЬСЯ, разобижусь, разобидишься, ·совер. (·разг. ). Сильно обидеться.
1. сильно обидеться ◆ Однако его еще некоторое время пытали расспросами насчет присяги и только тогда, когда он совсем уже разобиделся и собрался уходить, согласились слушать историю. ИП, «Золотой теленок», 1931 г. (цитата из НКРЯ) ◆ Сын, однако, разобиделся на отца и задумал отмстить ему. Д. Д. Благово, «Рассказы бабушки из воспоминаний пяти поколений, записанные и собранные ее внуком Д. Благово», 1877-1880 г. (цитата из НКРЯ)