ЭКЗА́РХ, -а, м. 1. Ист. Глава жрецов при храме в древней Греции. 2. Ист. Наместник императора в какой-л. области Византийской империи. 3. В православной церкви ... Словарь русского языка (МАС)
Но если основатели желали подчинить монастырь непосредственно патриарху, экзарх патриарха торжественно водружал на этом месте патриарший крест, и над таким монастырём епископ не имел никакой юрисдикции.