Под предлогом: значение словосочетания в словаре Ефремовой

под предлогом предл. с род.

Употребляется при указании на что-либо, являющееся вымышленным предлогом или внешним поводом для какого-либо действия.

под предлогом, что союз

Употребляется при присоединении придаточной части сложноподчиненного предложения, в которой содержится вымышленная причина, на которую ссылается кто-либо; под предлогом того, что.