ЗАТУ́ХНУТЬ, -нет; прош. зату́х, -ла, -ло; прич. прош. зату́хший и зату́хнувший; сов. (несов. затухать и тухнуть1). 1. Разг. Постепенно угасая, перестать гореть. Костер затух.□ И ... Словарь русского языка (МАС)
После моего исчезновения меня, конечно, искали, и по больницам, и ещё где-то поблизости, но поиски не дали результата и постепенно затухли за бесперспективностью.