НАПЕРЕБО́Й, нареч. Перебивая, прерывая друг друга (говорить, делать что-л.). Супруги наперебой ухаживали за гостем, подкладывали куски получше. В. Попов, Обретешь в бою. Люди наперебой стали ... Словарь русского языка (МАС)
Зверята поздоровались и наперебой стали рассказывать о том, что хотят стать настоящими следопытами, но для этого им нужна какая-нибудь специальная книга, учебник.