В толковых словарях русского языка слово «выдюжить» имеет несколько значений. Вот основные:
ВЫ́ДЮЖИТЬ, -жу, -жишь; сов. Прост. Выдержать, вытерпеть. Первое время русским новоселам в Сибири всегда трудно и они еле-еле перебиваются, но как только они выдюжат и приспособятся, сейчас же становятся господами положения. Шелгунов, Очерки русской жизни. Нет, не сдамся. Выдюжу. Дойду. П. Комаров, Монгольские стихи.
выдюжить сов. неперех. простореч.
Выдержать, вытерпеть, выстоять.
ВЫДЮЖИТЬ, жу, жишь; сов. (прост.). Выдержать (во 2 знач.), вытерпеть.
1. прост. выдержать, вытерпеть, выстоять ◆ Борются у нас, известно, взамок. У кого, значит, спина не хрустнет да ноги выдюжат. П. П. Бажов, «Марков камень», 1937 г. (цитата из НКРЯ)