В толковых словарях русского языка слово «жёрдочка» имеет несколько значений. Вот основные:
ЖЁРДОЧКА, -и, род. мн. -чек, дат. -чкам, ж.
1. Уменьш. к жердь.
2. Перекладина в птичьей клетке; насест. [Птица] быстро и деловито поворачивалась в клетке, вспархивала на жердочку, потом снова слетала вниз. Катерли, Стожаровы.
ЖЁРДОЧКА, и, ж.
1. см. жердь.
2. Перекладина в птичьей клетке, а также насест. Сидеть на жёрдочке.
1. перекладина для сидения птицы; насест ◆ Попугаи сидели на жёрдочках во всех домах. В. М. Дорошевич, «Сказки и легенды», 1893—1916 г. (цитата из НКРЯ)
2. разг. уменьш.-ласк. к жердь; небольшой узкий тонкий шест ◆ Здесь нечему раздавить человека: всё из жёрдочек, из прутьев; стен нет: место их занимают окна, задвигаемые посредством жалюзи. И. А. Гончаров, «Фрегат «Паллада»», 1855 г. ◆ Спутница его только что умылась из висевшего на жёрдочке кувшинка и, не успев ещё накинуть платок себе на голову, пробиралось назад к воротам по узкой дощечке, положенной через тёмные лужицы навозного двора. Тургенев, «Странная история», 1869 г. (цитата из НКРЯ) ◆ Никита взобрался в него по лесенке в пять жёрдочек. А. Н. Толстой, «Детство Никиты», 1919—1922 г.