В толковых словарях русского языка слово «папенька» имеет несколько значений. Вот основные:
ПА́ПЕНЬКА, -и, род. мн. -нек, дат. -нькам, м. Разг. устар. Ласк. к папа1. — Что, Маша, страшно тебе? — Нет, папенька, — отвечала Марья Ивановна. Пушкин, Капитанская дочка. — Я хотела послать папеньку в город к вам, — сказала она, — да не знала, где вы живете. И. Гончаров, Обыкновенная история.
папенька м. устар.
Употребляется как почтительно-ласковое обращение к отцу.
ПАПЕНЬКА, и, м. (устар. разг.). Папа, отец.
П’АПЕНЬКА, папеньки, ·муж. (·разг. ·устар. ). Ласкательное или почтительное обозначение отца. «Марья Гавриловна подошла здороваться с папенькой и с маменькой.» Пушкин.
1. разг. устар. уменьш.-ласк. к папа ◆ Я заметил, что он с минуту назад весьма горячо говорил с папенькой будущей богатой невесты, с которым только что познакомился, о преимуществе какой-то службы перед другою. Достоевский, «Елка и свадьба», 1848 г.