В толковых словарях русского языка слово «параболоид» имеет несколько значений. Вот основные:
ПАРАБОЛО́ИД, -а, м. Мат. Незамкнутая поверхность, образованная движением параболы, вершина которой скользит по другой неподвижной параболе. Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид. Параболоид вращения.
[От греч. παραβολή — парабола и ε’ι̃δος — вид]
параболоид м.
Поверхность, образуемая движением параболы парабола I 1., вершина которой скользит по другой неподвижной параболе, причем площади обеих парабол остаются взаимно перпендикулярными.
ПАРАБОЛ’ОИД, параболоида, ·муж. (см. парабола) (мат.). Поверхность второго порядка, не имеющая центра. Параболоид вращения (образуется вращением параболы вокруг ее оси). Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид.
1. матем. незамкнутая поверхность, образованная движением параболы, вершина которой скользит по другой неподвижной параболе
Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка в трёхмерном евклидовом пространстве.
Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.
Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:
z
=
t
x
2
+
u
y
2
,
{displaystyle z=tx^{2}+uy^{2},}
где
t
{displaystyle t}
и
u
{displaystyle u}
— действительные числа, не равные нулю одновременно.При этом:
если
t
{displaystyle t}
и
u
{displaystyle u}
одного знака, то параболоид называется эллиптическим, частный случай эллиптического параболоида
t
=
u
,
{displaystyle t=u,}
в этом случае поверхность принято называть параболоидом вращения;
если
t
{displaystyle t}
и
u
{displaystyle u}
разного знака, то параболоид называется гиперболическим;
если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.Cечения параболоида вертикальными (параллельными оси
z
{displaystyle z}
) плоскостями произвольного положения — параболы.
Сечения параболоида горизонтальными плоскостями, параллельными плоскости
x
,
y
{displaystyle x, y}
для эллиптического параболоида — эллипсы, для параболоида вращения эти пересечения — окружности, когда такое пересечение существует.
Пересечения для гиперболического параболоида — гиперболы.
В частных случаях пересечения, сечением может оказаться прямая или пара прямых (для гиперболического параболоида или пара параллельных прямых для параболического цилиндра) или вырождаться в одну точку (для эллиптического параболоида).