В толковых словарях русского языка слово «письменно» имеет несколько значений. Вот основные:
ПИ́СЬМЕННО. Нареч. к письменный (в 1 знач.). — Ваш уважаемый батюшка письменно и устно обращался к губернскому предводителю дворянства. Чехов, Моя жизнь. Жаль, что этот разговор нам приходится вести письменно. Было бы гораздо легче, удобнее и интереснее не писать об этом, а говорить. Маршак, Письмо С. В. Павловой, 24 сент. 1940).
письменно нареч. обстоят. качества
В письменной форме.
1. в письменной форме ◆ С тех пор несколько раз Вольдемар письменно обращался к царю, уличал его первою грамотою, в которой сказано было прямо и положительно, что его не будут неволить в вере. Н. И. Костомаров, «Русская история в жизнеописаниях ее главнейших деятелей», 1862-1875 г. (цитата из НКРЯ)