Умноже́ние — одна из основных математических операций над двумя аргументами (множителями, сомножителями). Иногда первый аргумент называют множимым, а второй множителем; результат умножения двух аргументов называется их произведением.
Умножение имеет различный конкретный смысл и соответственно различные конкретные определения в зависимости от конкретного вида сомножителей и произведения.
Так, для натуральных чисел умножение определяется как многократное сложение — чтобы умножить число
a
{displaystyle a}
на число
b
{displaystyle b}
надо сложить
b
{displaystyle b}
чисел
a
{displaystyle a}
:
a
⋅
b
=
a
+
a
+
⋯
+
a
⏟
b
{displaystyle acdot b=underbrace {a+a+cdots +a} _{b}}
.Поскольку умножение чисел является коммутативной операцией, то порядок записи чисел-сомножителей не влияет на результат их умножения.
Например, умножение чисел
3
{displaystyle 3}
и
5
{displaystyle 5}
может быть записано как
3
⋅
5
{displaystyle 3cdot 5}
, так и
5
⋅
3
{displaystyle 5cdot 3}
(произносится также «пятью три», «трижды пять»), и результатом в любом случае является число
15
{displaystyle 15}
. Проверка через сложение:
3
+
3
+
3
+
3
+
3
⏟
5
=
15
{displaystyle underbrace {3+3+3+3+3} _{5}=15}
,
5
+
5
+
5
⏟
3
=
15
{displaystyle underbrace {5+5+5} _{3}=15}
.Умножение также определено для целых, рациональных, вещественных, комплексных чисел путём систематического обобщения.
Умножение других математических, физических и абстрактных величин (например, матриц, векторов, множеств, кватернионов и т. д.) не всегда является коммутативной операцией. При умножении физических величин важную роль играет их размерность.
Изучение общих свойств операции умножения входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец.
