В толковых словарях русского языка слово «флейтщик» имеет несколько значений. Вот основные:
ФЛЕ́ЙТЩИК, -а, м. Устар. Военный флейтист. [Солдаты] стояли двумя рядами друг против друга ---. Позади их стояли барабанщик и флейтщик и не переставая повторяли все ту же неприятную, визгливую мелодию. Л. Толстой, После бала.
1. устар. то же, что флейтист, иногда: военный флейтист ◆ Позади их стояли барабанщик и флейтщик и не переставая повторяли всё ту же неприятную, визгливую мелодию. Лев Толстой, «После бала», 1903 г. ◆ Ах, вот и флейтщики! Подай мне твою флейту Чехов, «Лебединая песня», 1887 г. (цитата из Викитеки) ◆ …а во-вторых, не то что у Мейербера, а у последнего немецкого флейтщика, скромно высвистывающего свою партию в последнем немецком оркестре… Тургенев, «Дым», 1867 г.