Подгруппа

Подгруппа ― подмножество

H

{displaystyle H}

группы

G

{displaystyle G}

, само являющееся группой относительно операции, определяющей

G

{displaystyle G}

.

Подмножество

H

{displaystyle H}

группы

G

{displaystyle G}

является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

H

{displaystyle H}

содержит единичный элемент из

G

{displaystyle G}

содержит произведение любых двух элементов из

H

{displaystyle H}

,

содержит вместе со всяким своим элементом

h

{displaystyle h}

обратный к нему элемент

h

−

1

{displaystyle h^{-1}}

.В случае конечных и, вообще, периодических групп третье условие является следствием первых двух.