В толковых словарях русского языка слово «позаниматься» имеет несколько значений. Вот основные:
ПОЗАНИМА́ТЬСЯ, -а́юсь, -а́ешься; сов. Заниматься некоторое время. — Ему необходима помощь. Пригласите репетитора. Пусть хорошенько позанимается. Серафимович, Под уклон. Позанимались мы спокойно недели три ---, как вдруг в классе появился Котька Григоренко. В. Беляев, Старая крепость.
позаниматься сов. неперех.
1. разг. Провести некоторое время в каком-либо занятии (обычно умственном).
|| В течепие некоторого времени проучиться где-либо (в каком-либо учебном заведении).
|| Поучить некоторое время кого-либо, поруководить чьими-либо занятиями.
2. В течение некоторого времени занимать кого-либо чем-либо; поразвлечь.
ПОЗАНИМ’АТЬСЯ, позанимаюсь, позанимаешься, ·совер. (·разг. ). Провести некоторое время в занятиях, немного поработать. «Ты бы пошел, позанимался со Степой.» Чехов.